Generalized Eigenvalue Problem

Definition / 释义

广义特征值问题：在线性代数中，指求解形如 A x = λ B x 的特征值 λ 和非零向量 x 的问题，其中 A、B 通常为给定矩阵。常见于振动分析、稳定性分析、约束最优化与数值计算等领域。（若 B = I，就退化为普通特征值问题 A x = λ x。）

Pronunciation / 发音

/ˈdʒɛnərəlaɪzd ˈaɪɡənˌvæljuː ˈprɑːbləm/

Examples / 例句

We solved a generalized eigenvalue problem to compare two covariance matrices.
我们通过求解一个广义特征值问题来比较两个协方差矩阵。

In structural dynamics, the generalized eigenvalue problem \(Kx=\lambda Mx\) is used to find natural frequencies and mode shapes, where \(K\) is stiffness and \(M\) is mass.
在结构动力学中，广义特征值问题 \(Kx=\lambda Mx\) 用来求固有频率与振型，其中 \(K\) 表示刚度矩阵、\(M\) 表示质量矩阵。

Etymology / 词源

generalized（广义的）来自 general（一般的）+ 后缀 -ize（使……化）+ -ed（形容词化/过去分词形式），表示“从一般情形扩展出来的、更通用的”。
eigenvalue（特征值）中的 eigen- 源自德语 eigen，意为“自身的、固有的”；该术语由数学与物理传统沿用到英语中，强调“系统自身属性对应的数”。
problem（问题）来自希腊语 problema，意为“提出的任务/待解之题”。
合起来，“generalized eigenvalue problem”直观含义是：把普通特征值问题推广到包含两矩阵（或一对算子）的更一般形式来求解。

Related Words / 相关词

Literary Works / 文学与经典著作例证

Golub & Van Loan, Matrix Computations：系统讨论广义特征值问题及其数值算法（如 QZ 算法），是数值线性代数经典教材。
Trefethen & Bau, Numerical Linear Algebra：以较直观方式介绍特征值相关计算，并涉及广义情形与稳定性问题背景。
Horn & Johnson, Matrix Analysis：从理论角度涵盖特征值/特征向量与相关矩阵性质，为理解广义问题提供严格框架。
Parlett, The Symmetric Eigenvalue Problem：聚焦对称/厄米特征值问题，并与广义形式在应用中常相互关联（如 \(Kx=\lambda Mx\)）。
Strang, Introduction to Linear Algebra：面向学习者讲解特征值思想，并在工程建模语境中引出更一般的矩阵方程观点。